Выбирая школу, Вы можете выбрать и программу, по которой будет обучаться ребенок. Условно, школьные программы делятся на традиционные и альтернативные, так называемые развивающие. У каждой разработки свои тонкости, поэтому и ответы на вопрос: "Что должен уметь ребёнок в 7 лет?" будут немного разными для каждой программы.

Традиционные программы обучения основаны на многолетних исследованиях, их основа заложена еще в советские времена. Это такие системы, как:
•    Начальная школа 21 века;
•    Школа 2100;
•    Гармония;
•    Перспектива;
•    Планета знаний и другие.

Мнение,  что эти программы давно устарели, неверно. Они постоянно изменяются и дополняются новыми составляющими.

Чем же отличаются развивающие системы? – удивляются родители и ждут от педагогических ноу-хау чуда. На самом деле, эффективность обучения зависит больше от учителя. Обучение по альтернативным программам означает лишь то, что ребенок будет учиться по авторской методике педагога-экспериментатора, изобретателя новых методов или систематизатора известных. Наиболее популярны разработки Петерсон, Эльконина, Занкова.

Что должен уметь ребенок к началу первого класса?

Для пользы ребенка, желательно идти на пару шагов впереди программы. Следует немного абстрагироваться от того, что должен уметь ребенок к 6 - 7 годам. То есть, в игровой непринужденной форме  время от времени "заглядывать" в первый класс.

Вы можете выбрать как одно направление, так и все три(математика, обучение грамоте, чтение), для подготовки ребенка к школе.